近世代数答案

《近世代数》习题答案（第二部分）

第八讲 群的概念

1．（1）是；

  （2）是；

  （3）否；

  （4）是。

2．（1）否（结合律不满足）；

  （2）是；

  （3）是；

  （4）否（非空子集逆元不存在）。

5．当且仅当 为素数时， 关于剩余类的乘法构成群。

6．提示：考虑到 。

第九讲 子群与陪集

7．提示：可证：左陪集 的所有元素的逆元素组成右陪集 。

8．1阶元素有： ；

   2阶元素有： ；

   3阶元素有： ；

   4阶元素有： ；

   6阶元素有： ；

   8阶元素有： ；

   12阶元素有： ；

   24阶元素有： 。

第十讲 循环群

5．提示：设 的阶大于2，则 ，且 与 阶相同。

6．提示：利用上题结论。

7．{0}，Z₁₂，2Z₁₂，3Z₁₂，4Z₁₂，6Z₁₂

11．令： ：Z₁₂ Z₁₂， ， Z，则 ， ， ， 是Z₁₂的全部自同构映射。

 

 

 

 

第十一讲 置换群

1． ， ，

   ， 。

2．（1） 为偶置换， 为奇置换；

  （2） = (1 4 7 3)(2 6)， = (1 3 5)(2 4 7 6)；

  （3） = (1 5 6 4)。

3．（1） 为奇置换， 偶置换；

  （2） ； 。

5． 的元素为：

  (1), (1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4), (1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2), (1 3 4),

  (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3), (1 2 3 4), (1 2 4 3), (1 3 2 4), (1 3 4 2), (1 4 2 3), (1 4 3 2),

  (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)。

  的元素为：

  (1), (1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3), (1 2)(3 4),

  (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)。

6．(1 2), (1 3), (2 3)。

7．(1), (1 2 3 4), (1 3)(2 4), (1 4 3 2)。

8．  2, 6, Q, 3, 7, 10, 9, 5, J, K, 4, A, 8。

 

第十二讲 正规子群与商群

4． 。

5． 。

 

 

 

第十三讲 群同态与群同态基本定理

1．（1）是， ， ；

  （2）不是；

  （3）是， ， ；

  （4）是， ， 。

 

 

 

第十四讲 群的应用

1． ， ， ；

  ， 。

   ， ， ，

   。

4．24

5．92种。

6．76种。

7．1674种。

 

 

 

 

 

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