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MATLAB优化应用
作者：佚名 文章来源：本站原创 点击数： 更新时间：2005-5-30MATLAB优化应用
§1 线性规划模型
一、线性规划课题：
实例1：生产计划问题
假设某厂计划生产甲、乙两种产品，现库存主要材料有A类3600公斤，B类2000公斤，C类3000公斤。每件甲产品需用材料A类9公斤，B类4公斤，C类3公斤。每件乙产品，需用材料A类4公斤，B类5公斤，C类10公斤。甲单位产品的利润70元，乙单位产品的利润120元。问如何安排生产，才能使该厂所获的利润最大。
建立数学模型：
设x1、x2分别为生产甲、乙产品的件数。f为该厂所获总润。
max f=70x1+120x2
s.t 9x1+4x2≤3600
4x1+5x2≤2000
3x1+10x2≤3000
x1,x2≥0
实例2：投资问题
某公司有一批资金用于4个工程项目的投资，其投资各项目时所得的净收益(投入资金锪百分比)如下表：
工程项目收益表
|
工程项目 |
A |
B |
C |
D |
|
收益(%) |
15 |
10 |
8 |
12 |
由于某种原因，决定用于项目A的投资不大于其他各项投资之和而用于项目B和C的投资要大于项目D的投资。试确定全文该公司收益最大的投资分配方案。
建立数学模型：
设x1、 x2 、x3 、x4分别代表用于项目A、B、C、D的投资百分数。
max f=0.15x1+0.1x2+0.08 x3+0.12 x4
s.t x1-x2- x3- x4≤0
x2+ x3- x4≥0
x1+x2+x3+ x4=1
xj≥0 j=1,2,3,4
实例3：运输问题
有A、B、C三个食品加工厂，负责供给甲、乙、丙、丁四个市场。三个厂每天生产食品箱数上限如下表：
|
工厂 |
A |
B |
C |
|
生产数 |
60 |
40 |
50 |
四个市场每天的需求量如下表：
|
市场 |
甲 |
乙 |
丙 |
丁 |
|
需求量 |
20 |
35 |
33 |
34 |
从各厂运到各市场的运输费(元/每箱)由下表给出：
|
收 点 发 点 |
市 场 | ||||||||
|
甲 |
乙 |
丙 |
丁 | ||||||
|
工 厂 |
A |
2 |
1 |
3 |
2 | ||||
|
B |
1 |
3 |
2 |
1 | |||||
|
C |
3 |
4 |
1 |
1 | |||||
求在基本满足供需平衡的约束条件下使总运输费用最小。
建立数学模型：
设ai j为由工厂i运到市场j的费用，xi j 是由工厂i运到市场j的箱数。bi是工厂i的产量，dj是市场j的需求量。
b= ( 60 40 50 ) d= ( 20 35 33 34 )
s.t
x i j≥0
当我们用MATLAB软件作优化问题时，所有求maxf 的问题化为求min(-f )来作。约束g i (x)≥0，化为 –g i≤0来作。
上述实例去掉实际背景，归结出规划问题：目标函数和约束条件都是变量x的线性函数。
形如： (1) min f T X
s.t A X≤b
Aeq X =beq
lb≤X≤ub
其中X为n维未知向量，f T=[f1,f2,…fn]为目标函数系数向量，小于等于约束系数矩阵A为m×n矩阵，b为其右端m维列向量，Aeq为等式约束系数矩阵，beq为等式约束右端常数列向量。lb,ub为自变量取值上界与下界约束的n维常数向量。
二．线性规划问题求最优解函数：
调用格式： x=linprog(f,A,b)
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)
[x,fval]=linprog(…)
[x, fval, exitflag]=linprog(…)
[x, fval, exitflag, output]=linprog(…)
[x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(…)
说明：x=linprog(f,A,b)返回值x为最优解向量。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) 作有等式约束的问题。若没有不等式约束，则令A=[ ]、b=[ ] 。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) 中lb ,ub为变量x的下界和上界，x0为初值点，options为指定优化参数进行最小化。
Options的参数描述：
Display 显示水平。 选择’off’ 不显示输出；选择’iter’显示每一 步迭代过程的输出；选择’final’ 显示最终结果。
MaxFunEvals 函数评价的最大允许次数
Maxiter 最大允许迭代次数
TolX x处的终止容限
[x,fval]=linprog(…) 左端 fval 返回解x处的目标函数值。
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b, Aeq,beq,lb,ub,x0) 的输出部分：
exitflag 描述函数计算的退出条件：若为正值，表示目标函数收敛于解x处；若为负值，表示目标函数不收敛；若为零值，表示已经达到函数评价或迭代的最大次数。
output 返回优化信息：output.iterations表示迭代次数；output.algorithm表示所采用的算法；outprt.funcCount表示函数评价次数。
lambda 返回x处的拉格朗日乘子。它有以下属性：
lambda.lower-lambda的下界；
lambda.upper-lambda的上界；
lambda.ineqlin-lambda的线性不等式；
lambda.eqlin-lambda的线性等式。
三． 举例
例1：求解线性规划问题：
max f=2x1+5x2
s.t
先将目标函数转化成最小值问题：min(-f)=- 2x1-5x2
程序：
f=[-2 -5];
A=[1 0;0 1;1 2];
b=[4;3;8];
[x,fval]=linprog(f,A,b)
f=fval*(-1)
结果： x = 2
3
fval = -19.0000
maxf = 19
例2：minf=5x1-x2+2x3+3x4-8x5
s.t –2x1+x2-x3+x4-3x5≤6
2x1+x2-x3+4x4+x5≤7
0≤xj≤15 j=1,2,3,4,5
程序：
f=[5 -1 2 3 -8];
A=[-2 1 -1 1 -3;2 1 -1 4 1];
b=[6;7];
lb=[0 0 0 0 0];
ub=[15 15 15 15 15];
[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb,ub)
结果：x =
0.0000
0.0000
8.0000
0.0000
15.0000
minf =
-104
例3：求解线性规划问题：
minf=5x1+x2+2x3+3x4+x5
s.t –2x1+x2-x3+x4-3x5≤1
2x1+3x2-x3+2x4+x5≤-2
0≤xj≤1 j=1,2,3,4,5
程序：
f=[5 1 2 3 1];
A=[-2 1 -1 1 -3;2 3 -1 2 1];
b=[1;-2];
lb=[0 0 0 0 0];
ub=[1 1 1 1 1];
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,[],[],lb,ub) 运行结果：
Exiting: One or more of the residuals, duality gap, or total relative error
has grown 100000 times greater than its minimum value so far:
the primal appears to be infeasible (and the dual unbounded).
(The dual residual < TolFun=1.00e-008.)
x = 0.0000
0.0000
1.1987
0.0000
0.0000
fval =
2.3975
exitflag =
-1
output =
iterations: 7
cgiterations: 0
algorithm: 'lipsol'
lambda =
ineqlin: [2x1 double]
eqlin: [0x1 double]
upper: [5x1 double]
lower: [5x1 double]
显示的信息表明该问题无可行解。所给出的是对约束破坏最小的解。
例4：求解实例1的生产计划问题
建立数学模型：
设x1、x2分别为生产甲、乙产品的件数。f为该厂所获总润。
max f=70x1+120x2
s.t 9x1+4x2≤3600
4x1+5x2≤2000
3x1+10x2≤3000
x1,x2≥0
将其转换为标准形式：
min f=-70x1-120x2
s.t 9x1+4x2≤3600
4x1+5x2≤2000
3x1+10x2≤3000
x1,x2≥0
程序： f=[-70 -120];
A=[9 4 ;4 5;3 10 ];
b=[3600;2000;3000];
lb=[0 0];
ub=[];
[x,fval,exitflag]=linprog(f,A,b,[],[],lb,ub)
maxf=-fval
结果： x =
200.0000
240.0000
fval =
-4.2800e+004
exitflag =
1
maxf =
4.2800e+004
例5：求解实例2
建立数学模型：
max f=0.15x1+0.1x2+0.08 x3+0.12 x4
s.t x1-x2- x3- x4≤0
x2+ x3- x4≥0
x1+x2+x3+ x4=1
xj≥0 j=1,2,3,4
将其转换为标准形式：
min z=-0.15x1-0.1x2-0.08 x3-0.12 x4
s.t x1-x2- x3- x4≤0
-x2- x3+ x4≤0
x1+x2+x3+ x4=1
xj≥0 j=1,2,3,4
程序： f = [-0.15;-0.1;-0.08;-0.12];
A = [1 -1 -1 -1
0 -1 -1 1];
b = [0; 0];
Aeq=[1 1 1 1];
beq=[1];
lb = zeros(4,1);
[x,fval,exitflag] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)
f=-fval
结果：x =
0.5000
0.2500
0.0000
0.2500
fval =
-0.1300
exitflag =
1
f =
0.1300
即4个项目的投资百分数分别为50%，25%，0, 25%时可使该公司获得最大的收益，其最大收益可到达13%。过程正常收敛。
例6：求解实例3
建立数学模型：
设ai j为由工厂i运到市场j的费用，xi j 是由工厂i运到市场j的箱数。bi是工厂i的产量，dj是市场j的需求量。
b= ( 60 40 50 )T d= ( 20 35 33 34 )T
s.t
x i j≥0
程序： A=[2 1 3 2;1 3 2 1;3 4 1 1];
f=A(:);
B=[ 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1];
D=[1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1];
b=[60;40;50];
d=[20;35;33;34];
lb=zeros(12,1);
[x,fval,exitflag]=linprog(f,B,b,D,d,lb)
结果： x =
0.0000
20.0000
0.0000
35.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
33.0000
0.0000
18.4682
15.5318
fval =
122.0000
exitflag =
1
即运输方案为：甲市场的货由B厂送20箱；乙市场的货由A厂送35箱；丙商场的货由C厂送33箱；丁市场的货由B厂送18箱，再由C厂送16箱。
最低总运费为：122元。
§2 非线性规划模型
一．非线性规划课题
实例1 表面积为36平方米的最大长方体体积。
建立数学模型：
设x、y、z分别为长方体的三个棱长，f为长方体体积。
max f = x y (36-2 x y)/2 (x+y)
实例2 投资决策问题
某公司准备用5000万元用于A、B两个项目的投资，设x1、x2分别表示配给项目A、B的投资。预计项目A、B的年收益分别为20%和16%。同时，投资后总的风险损失将随着总投资和单位投资的增加而增加，已知总的风险损失为2x12+x22+(x1+x2)2.问应如何分配资金，才能使期望的收益最大，同时使风险损失为最小。
建立数学模型：
max f=20x1+16x2-λ[2x12+x22+(x1+x2)2]
s.t x1+x2≤5000
x 1≥0,x2≥0
目标函数中的λ≥0是权重系数。
由以上实例�