高等几何课程论文

 

《高等几何》课程论文

 

 

类比学习之应用于

数学学习

 

 

数科院03级（1）班

成城

06020109

2004．12．30

 

[摘要] 类比学习在数学学习中，尤其在几何学习中，有着它独特之处。它利于我们培养数学的逻辑推理性，空间想象力。从整体上把握几何学，领悟到数学的无限美感。

[关键词] 类比；数学学习；知识

 

千百年来人类从不断的实践过程中慢慢摸索出了一系列获取新知的方法。类比就是其中之一。人类靠此了解新的事物掌握新的知识。时至今日，类比这一方法更为广泛地运用于各个领域。笔者学习数学十几年，对于类比之应用于数学稍有一些心得体会，将其整理归纳，以做总结。

 

一．     问题的提出。

数学学习中为何要应用类比？类比推理是由特殊到特殊的推理形式。它是数学发现的重要方法。开普勒曾说：“我赞成类比胜过其它一切，它是我最可信赖的，它知道自然的一切奥秘，并且在几何中它经常是有效的。”众所周知，数学学习过程是一个认知过程，是我们原有认知结构中的有关知识与新学习内容相互作用，形成新的数学认知结构的过程。数学的强系统性决定了它的特殊性，我们很难将知识点脱离了系统而看出数学思想发展的脉络。数学理论价值的体现以及理论思想的整体把握都在于此，这也就是我们为何在数学学习中应用类比学习法的原因所在。

 

二．     问题的解决。

上面简述了数学学习中应用类比法的必要性。那应该如何应用呢？这是我们下面讨论的问题。在这一方面我们以高等几何为例进行分析。

在高等几何学习中类比联想是引导学生发现结论，培养空间观念的有效途径，对于以后的学习研究工作都会有很大的益处。具体应用的途径，下面列举一二。

（一）        概念图法

我们知道数学知识体系是按照它们之间的内在联系组成的逻辑结构系统，每一部分数学知识既是前面知识的延伸和发展，又是后继知识的基础和铺垫。高等几何学习也不例外，我们在学习中应从整体着眼，寻求内容的内在联系，进行类比，使知识系统化，条理化，形成立体的知识网络。对于初学高等几何者，知识图式可以很好地帮助我们进行类比学习。

首先我们来了解一下知识图式。认知心理学的研究指出，对知识的表征能力强弱是能否习得知识的关键，而快速形成正确的表征需要以知识图式为基础，这些知识图式是通过样例的学习建立起来的，往往结合了大量的学科知识和程序性知识，它可以是对知识的理解或表征类型化。在学习中使学生更有效地把知识串联起来并使之深化、系统化并能够用于问题的解决。学生在比较知识的实践活动中，遵循从感性到理性，从具体到抽象的任职规律，知识图式正是一个很好的类比途径。而概念图是知识图表中最常见的一种方式。

例如下表

欧氏几何（研究图形正交变换不变性的科学）

仿射几何（研究图形仿射不变性的科学）

射影几何（研究图形射影不变性的科学）

对于一个以前从没有接触过高等几何的人来说，看到这个概念图之后，会有一个大概的知识体系在脑中形成，大体明白从前所学的几何所处的位置以及与以后要学内容的联系与区别。这正是概念图所达到的类比效果。当然真正的效果远不止这些，这个图还强有力的促进进一步学习。因为通过图式，我们建立了知识之间的联系，但同时也存在着一些疑惑，什么是正交变换，什么是仿射不变性，诸如此类问题，这将更好地推动再学习再探索。

上例我们将未学知识与已学知识的类比，借此来掌握新的知识，正是俗话说的“入门”。接下来在对高等几何有了一定了解，学习了几种几何学之后，我们需要的是将先学知识中的不同与相同找出，这时类比又将发挥巨大的作用。

此时我们给出几何学系列的概念图：

射影几何    ＞    射影仿射几何   ＞    射影欧氏几何

（P，K）         （P，KA）            （P，KM）

                       ‖                ‖

   ↖  （PA，A）     ＞    （PA，M）

                   仿射几何             欧氏几何

（﹥绝对子几何关系  ←相对子几何关系  = 伴随关系）

以上的这个图式使几何学的关系一目了然。在其基础上我们通过类比得出各种几何学的研究内容、变换群、空间的联系与区别。这时与第一个图表进行类比，会有种融会贯通的感觉，从一开始学的茫然到现在的成竹在胸，我们正是利用概念图进行前后知识的类比学习，将新知识转化为认知结构中的相关概念。

（二）        表解式法

表解式法即是知识用表格归纳。利用表格对知识进行归纳，不仅可以提高学习者的概括总结能力，而且可以通过表格中呈现的信息，发现知识间的联系或规律使学习者形成对知识的辨析的理解，有助于知识的掌握。例如刚学习齐次坐标这个知识点时，可以将其与以前所熟识的非齐次坐标类比，归纳如下：

		非齐次坐标	关系	齐次坐标
	有穷远点	(x,y)	X=x1/x2,y=y1/y2	(x1,x2,x3) x3≠0
无穷	方向为K的无穷远点	／	／	(x1,x2,0) x1≠0
远点	Y轴上的无穷远点	／	／	(0,x2,0) x2≠0

齐次坐标的引入和以前的非齐次坐标类比学习，比较异同，深刻理解了齐次坐标的意义。

再如对几何学的归纳：

名称	射影几何	仿射几何	抛物几何	欧氏几何
相应的变换群	射影群	仿射群	相似群	运动群
变换式	Lx1’=a11x1+a12x2+a13x3 Lx2’=a21x1+a22x2+a23x3 Lx3’=a31x1+a32x2+a13x3      ︳aij  ︳≠0	X’=a11x+a12y+a13 Y’=a12x+a22y+a23 (a11a22-a12a12)≠0	X’=ax-by+c1 Y’=bx+ay+c2 A^2+b^2=c^2≠0	X’=ax-by+c1 Y’=bx+ay+c2 A^2+b^2=1
参数数目	8	6	4	3
研究对象	射影性质，射影不变量	仿射性质，仿射不变量及左栏内容	相似性质，相似不变量及左栏内容	度量性质，度量不变量及左栏内容
基本不变性	接合性	平行性	相似形	合同性
基本不变量	交比	简单比	线段之比	距离
基本不变图形		无限远直线		线段（指长度）

此表的类比更为详细，对表中信息的掌握对于整个高等几何学习起到了事半功倍的效果。

 

三．     问题的推广。

类比学习对于我们掌握新知识无疑起着置关重要的作用，但类比学习仅止于此吗？答案是否定的。类比学习更大的益处在于对知识的推广。

我们知道由类比推理所得到的结论不一定准确无误，这就需要我们“发现结论，探索方法”，对进行类比后得到的信息加以严格证明，运用类比联想的方法指导数学学习。在此我们以Pascal定理为例。

Pascal定理为：内接于非退化二阶曲线的简单六点形的三双对边的交点共线，此线称为Pascal线。学习到这一部分，看到Pascal线的构成不禁让我们联系到前面所学的Pappus线。它们在构成上的相似处，是不是预示着它们之间的某种联系呢？这就是类比学习带给我们的疑问，对此我们要加以严格证明。

 

 

 

 

 

其实非常简单，我们只要把Pappus定理中的两共面相异直线看成Pascal定理中非退化二阶曲线的退化形式，即可应用Pascal定理得证。所以Pappus线应该是Pascal线的特殊形式。相信在掌握了Pascal线后Pappus线应该很容易记住。同时在类比学习过程中，我们又有了新的疑问：Pappus线只有一条，Pascal线是不是也只有一条呢？我们需要加以严格证明。这次答案是否定的。我们可以证明：由于六个顶点有不同的取法，六点形能决定的Pascal线达60条！事实又一次证明Pappus线只是Pascal线的一种特例。

再举一例。△ABC的三内角的角平分线交对边于D，E，F；设BC，EF交于L；CA，FD交于M；AB，DE交于N，试用Desargues定理证明L，M，N共线。另一题：△ABC的三条高线为AD，BE，CF，设BC，EF交于X；CA，FD交于Y；AB，DE交于Z。试证X，Y，Z三点共线。观察这两题，发现它们的相似之处：前者是角平分线后者是高线，其它的条件都一样，而且要求证明的也一样。那么由它们能不能得到一些结论呢？这是我们要在类比学习中思考的。经过严格证明，我们将这个问题作出推广：对于△ABC中的任意三条共点于O的直线AD，BE，CF，它们分别与对边交于D，E，F，又AB，DE交于Z；BC，EF交于X；CA，FD交于Y，则X，Y，Z三点共线。

以上这两例让我们看到了类比学习对于学习者加深理解、提高观点、培养举一反三能力的优越之处。

 

四．     总结。

类比学习在数学学习中，尤其在几何学习中，有着它独特之处。它利于我们培养数学的逻辑推理性，空间想象力。从整体上把握几何学，领悟到数学的无限美感。

 

参考文献:

1.  张传伟.数学中“知识图式”在教与学中的意义.数学通报,2004,10

2.  程国红.中学数学教学中应贯彻“知识与认知相结合”的原则.数学通报,2003,4

3.  毛澍芬,沈世明.射影几何.上海科学技术文献出版社,1985

4.  周兴和.高等几何.科学出版社,2003

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