应用瞬时混沌强度解读混沌[1]

 

罗传文

（东北林业大学林学院，博士，教授，哈尔滨150040）

摘要  本文应用瞬时混沌强度 ，对Logistic模型进行了研究，发现它具有表现混沌程度的作用，竟管它是一个随机过程，有较强的随机性，然而它对Logistic模型的r仍有很强的指示作用。本文定义了步数混沌强度（n step chaometry ）的概念，它更方便于实际计算，而使用者并不必理会均方积分的概念。 应用于研究Henon映射时，发现了以21为基数的周期窗口体系，在一个狭窄的区间内混沌与周期交替出现，其中还包含以189和252为初始周期的倍周期分岔。

 

关键词：Henon 映射，瞬时混沌强度，Logistic模型，189周期窗口，252周期窗口

 

Chaos interpreted with  instantanueous  chaometry

 

LUO Chuan-wen

(College of Forestry, Northeast Forestry University，Harbin 150040，China)

Abstract: Logistic model was studied with instantaneous chaometry ，it was found that instantaneous chaometry can powerfully exhibit the characteristic of chaos, while   which is a stochastic process, and has a little  randomicity, with which  value r of Logistic model can be shown  in some interval. The new concept nstep chaometry was defined, which can be calculated easily,  and not involved in mean square integral. While instantanueous chaometry was applied on Henon map, the  window systems based on 21 were found, chaos and periodic windows  appears  by turns in a narrow interval, and in which there are period doubling bifurcation based on 189 and 252.

 

Key words  Henon map; instantaneous chaometry, 21 period window, 189 period window, 252 period window

 

1  引言

笔者在独占球的基础上定义了均匀度，并证明独占球的两个重要性质。均匀度、独占球总体积、独占体总体积这3个概念均能表达均匀性，所以，笔者使用了独占球总体积定义了混沌强度^[2]，但，由于定义中使用了均方积分的概念，这不太方便于计算，本文定义的n步混沌强度则没有这方面的缺点，这一定义是基于Monte Carlo方法的，有较强的实用性。

 

 

2  n 步混沌强度的定义

定义1（瞬时混沌强度）：设R^k是k维欧氏空间， 有界， f是定义在B上的动力系统，设θ是f的参数向量。

                                  （1）

对任意 和给定的n₀(一般n₀>10000)，记轨道点集的一个子集为： ，它的独占球总体积为： ，称它为模型（1）的瞬时混沌强度。n₀称为空代步数，n称为实代步数。S中任意一点的最近邻体称为紧邻。

对于模型(1)定义的动力系统，用 表示f 同其自身的m次复合，如果 ，但对一切 ， ，则称点x₀是f的m周期点；特别地如果m=1，则称x₀是一个不动点。若对 ，存在正整数m，使 是周期点，则称x₀为最终周期点。

定理1(周期判别定理)  对于模型(1)定义的动力系统，对 ，若它是周期点或最终周期点，它的周期为N，则，当n>2N时，存在正整数N₀，当n₀> N₀时，有：

证明：下面的证明中x_i(i≧0)均代表k维向量，下面分两种情况证明

（1）设 是周期点

注意点集： ，由假设有：

l>0，由于n>2N，则S中的任意一点的足标可表示为：

n₀+rN+l   其中：

由于：

，它们互为紧邻，可见S中的所有点都有一个与之重合的紧邻，故有：

(2)设 是最终周期点

则存在m, 使f^m(x₀)为周期点

只要设N₀=m，当n₀>N₀，根据（1）的证明，结论显然成立。

证毕

 

Li-Yorke混沌定义简述如下^[6]：

定义2(Li-Yorke混沌定义)    设连续映射 ，如果存在不可数集合 并满足：

（1）       S不含周期点；

（2）       任给 ，则有

      

      

(3) 任给 及f的任意周期点 ，有

   

则称f在S上是混沌的。

 

定理2(混沌判别定理)  设 ，基于Li-Yorke的混沌定义，设f在不可数集合B上是混沌的，则对任意 ，以及任意正整数n₀和n，有： >0。

证明：用反证法

设存在正整数n₀和n，使

相应的点集为：

这说明每一个点有一个与之重合的紧邻，则存在正整数k，使得：

且假设对正整数i<k,

可见 为周期点，周期为k，对任意正整数j有：

令 ，其中：

注意到： ，且 仍为周期点，对p>n₀有：

这与Li-Yorke定义的第3个假设相予盾。

证毕

 

定义3（n步混沌强度）：设模型（1）在B上是混沌的，对于给定的θ和充分大的给定的n, 设对 和充分大的N₀, N₁，N₁>n₀>N₀， 对x₀, n₀是一个二阶矩随机过程。对随机选取的 和随机选取的正整数n_i ，N₁>n_i>N₀ (i=1,2,…m)，计算：

设 对m是均方收敛的，其均方极限记为 ，则称 为依步数n的混沌强度，简称n步混沌强度( n -step   chaometry)，或称为步数混沌强度。设 对n是均方收敛的，记均方极限为 ，则称 为模型(1)在B上的混沌强度(chaometry)。

显然， 可以看成 的一个估计。

对于不同的模型，n的取值要先进行测算，n的取值应足够大，只有足够大的n才能使混沌模型的信息彻底地表现出来。

下面就Logistic模型研究瞬时混沌强度的性质。

 

3  瞬时混沌强度应用于Logistic模型

Logistic模型表示为：

r∈[0 4], x_n∈[0 1]

图1  Logistic模型的r与C(0.85,1500000,8000,r)的关系

从图1可见，瞬时混沌强度对r有单调递增的趋势。而且，这种趋势对不同的窗口起着控制作用。表1的搜索步长为：0.0005。

 

图2  李氏指数随r值的变化图(将小于0的指数值换为0)

图2中李氏指数的x₀=0.85，n=4000。

从图1和图2可见， 与李亚普诺夫指数(简称李氏指数)的变化规律略有相似。李氏指数局部变动幅度较大， 比李氏指数稳定，它的稳定性与尺度有关，当尺度充分缩小时，可以找到它的振荡窗口，下文对此有所讨论。李氏指数的计算需要依赖于特定的模型，而 则不需要。注意到李氏指数同样与轨道上的每一个点有关，下面讨论李氏指数的相加项与独占线长度(1维的独占球又称为独占线)的关系：

注意到因子：

        （3）

它看起来象是独占线一样，但经过计算没有表现出相关性(见表2)，然而它们的加和却有相似之处，这真是一个谜。

 

表2  对轨道上的各点计算独占线长度和（3）式进行比较

序号	xn	独占线长度	（3）式的计算结果
0	0.8858123	2.379E-11	1.0146801
1	0.3615971	1.81E-10	-0.010502
2	0.8252465	1.773E-10	0.8439124
3	0.5155532	9.587E-10	-2.196405
4	0.8928602	1.188E-11	1.032783
5	0.3419779	9.372E-11	0.1220637
6	0.8044563	1.196E-10	0.7778566
7	0.5623545	5.669E-10	-0.807834
8	0.8798255	1.126E-10	0.999041
9	0.3779835	8.306E-10	-0.136515
10	0.8405018	6.323E-10	0.8897495
11	0.4792458	3.747E-09	-1.907922
12	0.8921852	2.958E-11	1.0310632
13	0.3438725	2.326E-10	0.1100021
14	0.806584	2.898E-10	0.7848208
15	0.5577068	1.393E-09	-0.885295
16	0.8818203	2.372E-10	1.0042792
17	0.372552	1.768E-09	-0.092962
18	0.8356579	1.467E-09	0.8754216
19	0.4909545	8.452E-09	-2.738406
20	0.8934325	2.539E-12	1.0342386

 

从表2可见，（3）式与独占线长度并无关系，然而λ却与独占线总长度相似。而且经过计算发现，在1维欧氏空间中，李亚普诺夫指数和 对初值的依赖关系表现出平稳的特性，这说明两者之间有着内在的联系。

 

在图1中使用的搜索步长为0.0005，共搜索到12个周期窗口。r在[3.70 3.74]之间只能表现出一个周期窗口，而当改变搜索尺度为0.00005时，中间又出现了4个周期窗口(见图3)。

图3  窗口[3.70 3.74]上的瞬时混沌强度的变化

 

图4  [3.910 3.911]上的瞬时混沌强度的变化

 

[3.900 3.901]的窗口内也搜索(搜索步长为0.0000025)到了周期窗口3.910725，窗口宽度小于0.000005。

由于混沌模型有遍历性，所以， 中x₀，n₀的变化有一定的替代性，虽然如此，只变化一个是无法表现它的全部状态的，只有x₀，n₀取足够多的组合时，才能展现随机过程的全部状态。对于没有已知模型的随机序列而言（比如脑电、心电），可以假设初值是固定的，取到足够长的轨道点集后，对固定的n，通过n₀的变化来获得对随机过程 的采样。

在实际的计算过程中发现， 在周期窗口的端点附近有复杂的情况出现。

(1)              当r值的变化从混沌进入周期窗口的过程中， 出现振荡。然而振荡的窗口长度相对于周期窗口的长度而言特别短，将这一窗口称为振荡窗口。

 

r=3.828426

C(0.85,3000000,8000,r)=0.3489961479

C(0.85,6000000,8000,r)=0.4532650387

C(0.85,9000000,8000,r)=0.4211096689

C(0.85,19000000,8000,r)=0.4407028793

C(0.85,16000000,8000,r)=0.003954728383

r处于振荡窗口，这一特性可以用于识别周期窗口的存在。

 

r=3.828427

    C(0.85,2000000,8000,r)=0.3544653798

C(0.85,3000000,8000,r)=0.004570163974

C(0.85,3000000,10000,r)=0.003624366987

C(0.85,4000000,8000,r)=0.004409192464

C(0.85,6000000,8000,r)=0.3737900547

r处于振荡窗口，这一特性可以用于识别周期窗口的存在。

 

（2）r值的变化从周期窗口进入混沌时， 出现快速上升的狭窄窗口，其窗口的长度与周期窗口的长度呈比例，但宽度要小得多，这样的窗口称为增长窗口，这一现象从图1可以看到，图1的左边是最长的周期窗口。最长的周期窗口对应最长的增长窗口。这样的窗口与周期窗口相伴出现，这一特性可以用于识别周期窗口。

   （3）除了周期窗口、振荡窗口、增长窗口之外的窗口称为缓增窗口。

r=3.8284