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数学物理方法：第2章:积分变换

作者：彭芳麟    文章来源：    点击数：    更新时间：2005-1-8
第2章:积分变换

付里叶级数、付里叶积分与离散付里叶变换

1.付里叶级数
定义在[-l, l]上的任意平方可积函数f(x)可展成付里叶级数

其中付里叶系数分别为


在的边界上,f(x)的付里叶级数与f(x)在边界上的值f(l),f(-l)满足如下关系


因此,f(x)的付里叶级数在边界上并不一定收敛于f(x), 但是当f(l)=f(-l)时,f(x)的付里叶级数在边界上收敛于f(x).
f(x)也可以展成如下复数形式的付里叶级数


即使f(x)是实函数,其复数形式的付里叶级数的系数却可能是复数.
这两种形式的付里叶级数是等价的,可以根据需要选用.

2.付里叶积分
若函数f(x)满足
(1)在任一有限区间上连续或有有限个第一类间断点,并且有有限个极大值、极小值；
(2)为有限值,
则f(x)可以展成如下形式的付里叶积分


这是实数形式的付里叶积分,还有复数形式的傅里叶积分，形式为

可将两式写成对称形式


3.离散付里叶变换与快速付里叶变换
考虑到教材中,一般不介绍离散付里叶变换与快速付里叶变换(FFT),下面作一简单说明.
记,它就是1的n次根,并且有
N个数据点的离散付里叶变换是

用矩阵表示为


在这里


当n=4时,所得的矩阵是


显然有


很容易得到逆变换是


离散付里叶变换把输入的数据x分解为它的基本频率的组合,也就是变换后所得的y的各个分量.对比常用的表达式可知,m/n相当于频率,相当于各频率的振幅,常把振幅的平方称之为功率谱.其中两个特殊的分量是,即零频分量也就是一个常数,其值为x的各个分量之和,还有一个是,叫做尼奎斯特频率(Nyquist frequency),是由取样频率所表达的最高频率.由于离散付里叶变换在频率上有周期性,所以在尼奎斯特频率以外的频率实际上对应低于尼奎斯特频率的那些频率的负值.

付里叶变换的例题

例1.矩形波列f(x)(如下图)的一个周期上可表为



试把它展为复数形式的付里叶级数,并研究其频谱.
解:计算系数

所得的付里叶级数为

将该矩形波的$k$次谐波的频率记为

则k次正谐波的振幅为


其频谱如下图所示.圆圈就是频谱的值.曲线是它的包络.图中取H=1,T=1,=0.2.


例2.研究矩形函数

的付里叶积分.
解:


可以看出,除了一个常数因子之外,它就是上一题中付里叶级数频谱振幅的包络.

    对矩阵函数作离散付里叶变换,方法是直接采用MATLAB快速付里叶变换算法指令fft.在程序中,第一种计算只用了21个数据点,第二种计算为了提高精度,用补零的方法,将数据点扩充成256个数据点.从下面的图形,可以看出,第二种计算有更高的精度.另外,图形中只画出了频率小于尼奎斯特频率的振幅,而没有画出全部频率的振幅.

                   矩形函数的快速付里叶变换

例3.对函数作快速付里叶变换


                   迭加正弦波的快速付里叶变换

例4. 二维矩形函数的快速付里叶变换.
要进行付里叶变换的区域如下图：


                  二维矩形函数的图像
所得的结果为下图：



                  二维矩形函数的快速付里叶变换


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