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数学物理方法：第1章:函数图形（下）

作者：彭芳麟    文章来源：http://202.112.85.200:81/slff/    点击数：    更新时间：2005-1-8
(2):特殊函数图形

Γ函数

    Γ函数是常见的一种函数，常用的定义是
           
其中的积分变量t应该理解为argt=0.

    为了将Γ函数在全平面上作解析延拓,得到
           
其中z≠0,-1,-2…….
    取Γ函数中的自变量为实数,画出它的图像,可以从实数范围直观地看出, Γ函数在全平面无零点,还可以看出它的奇点分布为z≠0,-1,-2…….
这个图像如下所示.

勒让德函数

1.l阶勒让德多项式的定义是
        
    其中-1≤x≤1，
        
    当l为偶数时， 中的最低幂项为即，所以
        

    当l为奇数时，中的最低幂项为即，所以
        

2.连带勒让德函数的定义是
        
其中l＝0,1,2,……， m=0,1,2,……,l，而是的m阶导数.

    所得的图像如下：



3.同样可以画出所有3阶的连带勒让德函数的图形.



4.勒让德函数实际上是以为变量的函数,所以也可以在极坐标下作图.下面画出在极坐标下的图形:






球谐函数

1.实数形式的球函数
    球谐函数在不同的文献中的定义可能有所不同,通常实数形式的定义为
                
    这里, l=0,1,2,…是l阶勒让德函数.线性独立的l阶球函数共有2l+1个.这是因为对应于m=0,有一个球函数,而对应于m=1,2,3,…,l,则各有两个球函数,即
                 sin mφ和cos mφ.

2.复数形式的球函数
    根据欧拉公式=cos mφ± i sin mφ ,可以将实数形式的球函数组合成如下的复数形式的球函数
              
    其中l=0,1,2,… ,  m=-l,-l+1,… -1,0,1,… ,l,所以线性独立的l阶球函数还是有2l+1个.

    复球函数归一化的结果的是
             

3.球函数的图形
    球函数是在球面上的二元函数,是一个空间的图形,为了画出它的图形,必须指定球的半径.还有,它是复数函数,须要将实部与虚部分别作图.还有一种画法是用角变量θ,φ作为平面上的x,y轴的变量,也可以画球函数的图形.下面就是用这些方法所画的球函数的图形.
    当l=0时,m=0,是个常数,不必作图.

    下图中取l＝3，m＝2






球函数的图形





球函数的图形





球函数的图形





球函数的图形
贝塞尔函数

1.贝塞尔函数的定义
ν 阶贝塞尔函数的定义是     

其中ν≥0，而Γ(x)是Γ函数。
ν 阶诺伊曼函数的定义是    

当ν取整数m时,得m阶诺伊曼函数


当m＝0时没有项

第一种和第二种汉克尔函数的定义是

 

虚宗量贝塞尔函数的定义是     它们是实变量函数。

定义虚宗量汉克尔函数为     

当ν取整数m时,得m阶虚宗量贝塞尔函数为

   
 注意,存在以下关系


半整数阶的贝塞尔函数
半整数阶的贝塞尔函数常用以下几种形式,

球贝塞尔函数



球诺伊曼函数


球汉克尔函数



2.实例：

(1).的曲线如下



(2).诺伊曼函数的曲线如下



(3).虚宗量贝塞尔函数的曲线如下



(4).的曲线如下

厄米函数

    二阶的厄米多项式的图形

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