数学物理方法：第1章:函数图形（上）

    1.复变函数z图形为 


    
    从图形可看到,自变量z取值在单位圆内,当画函数z时,是以坐标系的z轴表示复变函数Z的实部,其大小变化范围为 -1～+1形成一个倾斜的园平面.而颜色轴的变化范围也是-1～+1,在倾斜的园平面从左到右形成了条状的颜色带,正好对应复变函数的虚部是+1～-1,即与平面上y轴的正负相对应.

    2.复变函数图形为：



    从图形可以看出,与平面内自变量z的值相对应,函数所形成的曲面有三个高峰和三个低谷.因为
              

    在单位圆内,ρ=1,所以,三个高峰对应的是实部的最大值
     cos3θ=1， θ＝0，2π/3
    而三个低谷对应的是实部最小值
     cos3θ=-1, θ=π/3,π

    3.复变函数图形为：

     

    可以看到函数的图像是个二叶的曲面,两个支点分别是z=0,z=∞.由于单位园的幅角变化范围是-π～π,所以曲面的割线是沿x轴的负方向.

根式函数的图形.

根式函数的图形为：     可以看到函数的图像也是个二叶的黎曼面,但是,与上一个例子不同的是,从x的坐标范围可以看出,两个支点分别是z=0.5,z=∞.由于单位园的幅角变化范围是-π～π,所以黎曼面的割线是沿x轴的负方向. 倒数1/z     复变函数1/z图形为：     注意,在实轴的正方向,曲面的表现就是我们熟悉的实数的倒数曲线的图像.

指数函数     复变函数图形为：     注意,在实轴的正方向,曲面的表现就是我们熟悉的实数的指数函数曲线的图像.  对数函数lnz     为了更好地看出函数的变化趋势,下面有两个演示:     1.以z轴作实部,颜色作虚部：     在这个图像中,为了把不同虚部表示出来,我们将它画成了4个图像,它们分别具有不同的颜色,也就是虚部的值是不同的,而实部的形状则相同.注意,在实轴的正方向,曲面的表现就是我们熟悉的实数的对数函数曲线的图像.     2.以z轴作虚部,颜色作实部：     这个图像很像一个螺旋,和上一个图像完全不同. 三角函数sinz,cosz,arctanz 1.复变函数sinz图形为：     从图形可看到一个众所周知的结论,sinz的绝对值可以大于1,图形上z轴所表示的函数sinz的实部就已经几乎达到60. 2.复变函数cosz图形为：     从图形可看到,cosz的绝对值可以大于1,图形上z轴所表示的函数cosz的实部就已经几乎达到80. 3.复变函数arctanz图形为： 4.类似地,可以画出双曲函数sinhz, coshz的图像如下：